中国古代数学的近似测量术
弧田术 · 会圆术 — 以直代曲的千年智慧
⭕ 弧田术 · 弓形面积
以水平弦在上半圆为例 · 蓝色区域为弓形
弧田术记录在汉代《九章算术》中，是中国先民处理弓形面积问题的精妙创举。书中记载：“今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ ”它无需繁杂的圆周率，仅凭“弦长”与“矢高”两尺之数，便搭建起一座从直线量测通向曲线田亩的实用桥梁。其解法（术）是：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 ”以直代曲虽为近似之法，却在农田丈量、城池规划中发挥了不可小觑的大用。
弧田术公式（近似）：
S ≈ (
a × h + h² ) / 2
（a 为弦长，h 为矢高）
📐 半径
150
⬆ 弦偏移
30%
⬅️ 拖动滑块可观察近似程度的变化
半径 r
150 px
弦长 a
300 px
矢高 h
0 px
近似面积 S
0 px²
圆心角 ∠AOB
0 °
精确面积
0 px²
误差 (近似 − 精确)
0 px²
📐 弧田术公式的推导（近似）
设： 圆 O 的半径为 r，弦 AB 长为 a，弓高（矢高）为 h，弧 AB 的中点为 C，连接 AC、BC。
则弓形面积 S = △ABC 的面积 + 两个小弓形（弧 AC、弧 BC 与弦围成）的面积之和。
因为： △ABC 的面积 = ½ · a · h。
当弦 AB 为直径时： a = 2r，h = r，此时半圆面积 = ½πr²，取 π ≈ 3，得半圆面积 ≈ (3/2)r²。
△ABC 的面积 = ½ · 2r · r = r²。
所以两个小弓形面积之和 = 半圆面积 − △ABC 面积 = (3/2)r² - r² = ½r² = ½h²。 因此，对于一般情况，用 ½h² 近似两个小弓形面积之和。 所以： 弓形面积 S ≈ ½ · a · h + ½ · h² = (a · h + h²) / 2。
△ABC 的面积 = ½ · 2r · r = r²。
所以两个小弓形面积之和 = 半圆面积 − △ABC 面积 = (3/2)r² - r² = ½r² = ½h²。 因此，对于一般情况，用 ½h² 近似两个小弓形面积之和。 所以： 弓形面积 S ≈ ½ · a · h + ½ · h² = (a · h + h²) / 2。
∴ 弧田术公式：S ≈ (a · h + h²) / 2 （当弓较小时近似程度较低）
💡 注：推导中利用了特殊情形（弦为直径，π≈3）估算两个小弓形面积，并推广到一般情形。
✦ 下 一 章 ✦
📐 会圆术 · 弧长近似
以水平弦在上半圆为例 · 蓝色弧线标示弧长
会圆术记录在宋代沈括的《梦溪笔谈》中：“履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”面对没有“卷尺”可循的圆弧，他大胆利用弦、矢二量，推演出弧长的近似算式，让弯曲的边界第一次有了可算之“度”。与弧田术的思路一致，依然是用已知的直去逼近未知的曲——当弧所对圆心角小于45°时，相对误差可控制在2%以内，方法简便，已足够应对当时农田丈量与工程估算之需。
会圆术公式（近似）：
L ≈ a + h² / r
（a 为弦长，h 为矢高，r 为半径）
📐 半径
150
⬆ 弦偏移
30%
⬅️ 拖动滑块可观察近似程度的变化
半径 r
150 px
弦长 a
300 px
矢高 h
0 px
近似弧长 L
0 px
圆心角 ∠AOB
0 °
精确弧长
0 px
误差 (近似 − 精确)
0 px
📐 会圆术公式的推导（近似）
设： 圆 O 的半径为 r，弦 AB 长为 a，矢高为 h，弧长为 L。
因为： 扇形 OAB 的面积 = ½ · L · r，△OAB 的面积 = ½ · a · (r−h)，弓形 AB 的面积 ≈ ½ · (a · h + h²)（弧田术近似）。
又因为： 扇形面积 = △OAB 面积 + 弓形面积。
所以： ½ · L · r ≈ ½ · a · (r−h) + ½ · (a · h + h²) ≈ ½ · (a · r + h²)。
因此： L · r ≈ a · r + h²，即 L ≈ a + h² / r。
∴ 会圆术公式：L ≈ a + h² / r （当弓高较小时近似程度较高）
💡 注：推导中利用弧田术近似弓形面积，并结合扇形面积分解得到弧长近似公式。